moea_joint
108年
[機械] 應用力學、材料力學
第 19 題
下列敘述何者有誤？
- A 波松比 $\nu = -\left(\frac{\text{側向應變}}{\text{軸向應變}}\right)$
- B 波松比 $\nu = 0$ 時，表示軸向伸縮不影響橫向變形
- C 波松比 $\nu$ 在線彈性範圍內保持不變
- D 波松比 $\nu$ 上限值為 1
思路引導 VIP
想像你正在拉伸一塊具有彈性的物體，當它被拉長時，為了維持物理上的穩定性，它的橫向厚度通常會縮減。如果我們考慮「體積不變」的極端情況（例如橡膠），你認為橫向收縮的比例與縱向伸長的比例之間，是否存在一個數學上的最大極限？這個極限會是 1 這麼大嗎？
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恭喜你準確地判斷出 (D) 選項是錯誤的，這代表你對材料性質的物理極限有相當紮實的理解！波松比（Poisson's ratio）描述的是材料在受力時，橫向應變與軸向應變的比例關係，其定義如選項 (A) 所示：$\nu = -\left(\frac{\epsilon_{lateral}}{\epsilon_{axial}}\right)$，負號是為了讓大多數受拉伸（軸向變正）而橫向收縮（側向變負）的材料，其波松比能維持為正值。
波松比的物理極限與意義
在線彈性範圍內，波松比通常被視為材料常數。若波松比為 $0$，正如選項 (B) 所言，代表材料在縱向受力伸縮時，橫向完全不會產生變形，軟木塞（Cork）就是自然界中極少數具有此特性的例子。然而，這題最具鑑別度的關鍵在於選項 (D) 的數值陷阱。對於等向性（Isotropic）材料而言，為了維持材料體積模數（Bulk Modulus）為正值（即體積不會越壓越大），在力學理論上波松比的範圍必須介於 $-1$ 與 $0.5$ 之間。當 $\nu = 0.5$ 時，代表材料為「完全不可壓縮」（如橡膠），因此上限值絕對不會是 $1$。
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