ast_essay
109年
數學乙
第 1.1 題
📖 題組：
傳染病在發生初期時，由於大部分人未感染且無抗體，所以總感染人數大都以指數形式成長。在「初始感染人數為 $P_0$，且每位已感染者平均一天會傳染給 $r$ 位未感染者」的前提下，$n$天後感染到此疾病的總人數 $P_n$ 可以表示為 $P_n = P_0(1+r)^n$，其中 $P_0 \ge 1$ 且 $r > 0$。 試回答下列問題：
傳染病在發生初期時，由於大部分人未感染且無抗體，所以總感染人數大都以指數形式成長。在「初始感染人數為 $P_0$，且每位已感染者平均一天會傳染給 $r$ 位未感染者」的前提下，$n$天後感染到此疾病的總人數 $P_n$ 可以表示為 $P_n = P_0(1+r)^n$，其中 $P_0 \ge 1$ 且 $r > 0$。 試回答下列問題：
(1) 已知 $A = \frac{\log P_5 - \log P_2}{3}$，$B = \frac{\log P_8 - \log P_6}{2}$，試說明 $A=B$。（4分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
這題考查對數的基本運算與指數模型的結合。可以從題幹給的 $P_n = P_0(1+r)^n$ 出發，等號兩邊取對數，得到 $\log P_n$ 與 $n$ 的線性關係。將此關係分別代入 $A$ 和 $B$ 的定義中，即可發現 $A$ 和 $B$ 分子分母相除後都會等於 $\log(1+r)$。也可以用斜率的概念，將 $A, B$ 看作同一條直線 $y = \log P_0 + x\log(1+r)$ 上的斜率來解釋。
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
解法一、對數律： 由對數律得 $\log P_n = \log P_0(1+r)^n = \log P_0 + n\log(1+r)$ 因此
▼ 還有更多解析內容