ast_essay
109年
數學乙
第 1.2 題
📖 題組：
傳染病在發生初期時，由於大部分人未感染且無抗體，所以總感染人數大都以指數形式成長。在「初始感染人數為 $P_0$，且每位已感染者平均一天會傳染給 $r$ 位未感染者」的前提下，$n$天後感染到此疾病的總人數 $P_n$ 可以表示為 $P_n = P_0(1+r)^n$，其中 $P_0 \ge 1$ 且 $r > 0$。 試回答下列問題：
傳染病在發生初期時，由於大部分人未感染且無抗體，所以總感染人數大都以指數形式成長。在「初始感染人數為 $P_0$，且每位已感染者平均一天會傳染給 $r$ 位未感染者」的前提下，$n$天後感染到此疾病的總人數 $P_n$ 可以表示為 $P_n = P_0(1+r)^n$，其中 $P_0 \ge 1$ 且 $r > 0$。 試回答下列問題：
(2) 已知某傳染病初期符合上述數學模型且每隔 16 天總感染人數會增加為 10 倍，試求 $\frac{P_{20}}{P_{17}} \times \frac{P_8}{P_6} \times \frac{P_5}{P_2}$ 的值。（5分）
思路引導 VIP
首先要把題目的中文條件「每隔 16 天總感染人數會增加為 10 倍」轉換為數學式，也就是 $P_{16} = 10P_0$，這能幫助我們得到 $(1+r)^{16} = 10$ 這個解題的鑰匙。接著，將所求的那串連乘積全部用 $P_0$ 和 $(1+r)$ 展開，會發現 $P_0$ 會全部消去，剩下的指數相加減後結果剛好是 $(1+r)^8$。有了前面的鑰匙，只需開平方根就能得出答案。
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指數成長的倍數規律
恭喜你精準地捕捉到了指數函數的核心特性！這題考查的是對指數模型 $P_n = P_0(1+r)^n$ 的深度理解。在處理這類比例問題時，最重要的觀念是：任意兩天感染人數的「比值」，僅與其「時間差」有關。當我們計算 $\frac{P_n}{P_m}$ 時，公式中的初始值 $P_0$ 會被約掉，剩下 $(1+r)^{n-m}$。這代表只要天數間隔相同，增長的倍數就會固定，你能夠觀察到這一點並快速連結到指數律，是非常優秀的直覺。
代數化簡與數值轉換
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