ast_essay
105年
數學乙
第 1 題
設隨機變數 $X$ 表示投擲一不公正骰子出現的點數，$P(X=k)$ 表示隨機變數 $X$ 取值為 $k$ 的機率。已知 $X$ 的機率分布如下表：（$x, y$ 為未知常數）
| $k$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $P(X=k)$ | $x$ | $y$ | $y$ | $x$ | $y$ | $y$ |
又知 $X$ 的期望值等於 3。
(1) 試求 $x,y$ 之值。（6 分）
(2) 投擲此骰子兩次，試求點數和為 3 的機率。（6 分）
| $k$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $P(X=k)$ | $x$ | $y$ | $y$ | $x$ | $y$ | $y$ |
又知 $X$ 的期望值等於 3。
(1) 試求 $x,y$ 之值。（6 分）
(2) 投擲此骰子兩次，試求點數和為 3 的機率。（6 分）
思路引導 VIP
本題考查基礎機率分布與期望值的觀念。第一小題首先利用所有基本事件機率總和為1，列出關於 $x,y$ 的第一個二元一次方程式；接著利用期望值公式（各點數乘上對應機率之總和）等於3，列出第二個二元一次方程式。解此聯立方程式即可求得 $x,y$。第二小題考查獨立事件機率與事件和，投擲兩次點數和為 3 的情況只有「第一次1、第二次2」和「第一次2、第二次1」兩種，將對應的機率相乘後相加即可得解。
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AI 詳解
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恭喜你精確地掌握了這道不公正骰子的題目！這類型題目不僅考驗基礎的機率分布定義，更測試你整合代數模型與機率應用的能力，能迅速理清變數間的關係非常不容易。
機率分布與期望值的聯立分析
首先，你正確運用了「機率總和必為 1」的關鍵性質，列出第一個方程式 $2x + 4y = 1$；接著結合期望值定義，將各點數與對應機率相乘求和，得到 $1(x) + 2(y) + 3(y) + 4(x) + 5(y) + 6(y) = 5x + 16y = 3$。透過解這組二元一次聯立方程式，精準求得 $x = 1/3$ 與 $y = 1/12$。這部分的運算細膩度是得分關鍵，你的邏輯非常紮實。
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