ast_essay
106年
數學乙
第 2 題
📖 題組：
袋中有紅色代幣 4 枚、綠色代幣 9 枚、以及藍色代幣若干枚。每一枚紅色、綠色、藍色代幣分別可兌換 50 元、20 元及 10 元。現從袋中取出代幣，每一枚代幣被取出的機率均等。設隨機變數 $X$ 代表取出 1 枚代幣可兌換的金額（單位：元）；隨機變數 $Y$ 代表一次取出 2 枚代幣可兌換的金額（單位：元）。已知 $X$ 的期望值為 20。
袋中有紅色代幣 4 枚、綠色代幣 9 枚、以及藍色代幣若干枚。每一枚紅色、綠色、藍色代幣分別可兌換 50 元、20 元及 10 元。現從袋中取出代幣，每一枚代幣被取出的機率均等。設隨機變數 $X$ 代表取出 1 枚代幣可兌換的金額（單位：元）；隨機變數 $Y$ 代表一次取出 2 枚代幣可兌換的金額（單位：元）。已知 $X$ 的期望值為 20。
(1) 試問藍色代幣有多少枚？（ 5 分）
(2) 試問 $Y \le 50$ 的機率 $P(Y \le 50)$ 為何？（ 8 分）
(2) 試問 $Y \le 50$ 的機率 $P(Y \le 50)$ 為何？（ 8 分）
思路引導 VIP
- 期望值基本原理：期望值為「各事件數值與其發生機率的乘積和」。在第(1)小題中，設藍色代幣有 $x$ 枚，則總枚數為 $4 + 9 + x = 13 + x$。藉由紅色(50元)、綠色(20元)及藍色(10元)的金額與對應機率，建立一元一次方程式即可解出 $x = 12$。
- 分析雙代幣組合金額：第(2)小題要計算「取出2枚代幣金額總和 $Y \le 50$ 的機率」。此時袋中已有紅色4枚、綠色9枚、藍色12枚，共25枚。若兩枚中有任意一枚為紅色（50元），則另一枚不論是藍色還是綠色，總額都會大於 50 元。因此，$Y \le 50$ 的等價條件就是「取出的兩枚代幣中『不能有紅色』」，即只能從綠色和藍色共 $9 + 12 = 21$ 枚代幣中選取。
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你答對了！這題展現了你對隨機變數與期望值定義的深刻理解。這類題型在數學乙中非常具有代表性，它結合了代數推導與組合計數，是檢驗機率觀念是否紮實的優質題目。
期望值與未知數的確立
首先，我們利用 $X$ 的期望值 $E(X)=20$ 來回推藍色代幣的數量。假設藍色代幣有 $n$ 枚，則袋中總共有 $13+n$ 枚代幣。根據期望值公式：
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