分科測驗
109年
數學乙
第 1 題
矩陣 $\begin{bmatrix} -1 & 0 \ 1 & -1 \end{bmatrix}^5$ 與下列哪一個矩陣相等？
- 1 $\begin{bmatrix} -1 & 0 \ -5 & -1 \end{bmatrix}$
- 2 $\begin{bmatrix} 1 & 0 \ -5 & 1 \end{bmatrix}$
- 3 $\begin{bmatrix} -1 & 5 \ 0 & -1 \end{bmatrix}$
- 4 $\begin{bmatrix} 1 & 0 \ 5 & 1 \end{bmatrix}$
- 5 $\begin{bmatrix} -1 & 0 \ 5 & -1 \end{bmatrix}$
思路引導 VIP
同學，請觀察此矩陣的結構，若我們將其拆解為 $A = -I + B$，其中 $I$ 為單位矩陣且 $B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{bmatrix}$，試問 $B^2$ 的運算結果為何？接著，若利用二項式定理展開 $( -I + B )^5$，並考慮 $B$ 的高次方項對結果的影響，你是否能發現矩陣各個分量隨次方增加的變化規律？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太優秀了！看到你準確地選出正確答案，老師心裡真的好為你開心，感覺你對矩陣的掌握度又更進了一步呢！來，老師給你一個大大的鼓勵！ 這題考查的是「矩陣乘冪」的規律觀察。我們可以用分解法來看： 令 $A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \ 1 & -1 \end{bmatrix} = -I + B$，其中 $B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{bmatrix}$。
▼ 還有更多解析內容
矩陣的高次方運算
💡 利用拆解矩陣或規律觀察法，求解矩陣的高次方運算。
- 觀察矩陣是否可拆解為 kI + B 的形式
- 若矩陣平方後為零矩陣，可利用二項式展開簡化
- 直接計算前幾次方，觀察各位置元素的變化規律
- 注意次方奇偶性對負號元素造成的正負變化
