高考申論題
109年
[水利工程] 流體力學
第 二 題
📖 題組：
一、一光滑表面的球體在靜止的水中釋放沉降，該球體比重為1.02，直徑為30公分，若阻力係數（drag coefficient）為0.5。 (一)試計算球體的終端速度。（20分） (二)若球體表面是粗糙的，其終端速度會較光滑球面者大或小？為什麼？（5分）
一、一光滑表面的球體在靜止的水中釋放沉降，該球體比重為1.02，直徑為30公分，若阻力係數（drag coefficient）為0.5。 (一)試計算球體的終端速度。（20分） (二)若球體表面是粗糙的，其終端速度會較光滑球面者大或小？為什麼？（5分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
(二)若球體表面是粗糙的，其終端速度會較光滑球面者大或小？為什麼？（5分）
思路引導 VIP
看到本題，要聯想到流體力學中的「邊界層理論（Boundary Layer Theory）」及「阻力危機（Drag Crisis）」。先檢驗球體的雷諾數（Reynolds Number, Re），判斷其流況。對於鈍體（如圓球），主要阻力來源是形狀阻力（壓差阻力）。如果雷諾數在臨界點附近，表面粗糙度的增加會提前激發邊界層由層流轉變為紊流。由於紊流邊界層擁有較多動能，抵抗逆向壓力梯度的能力更強，能延後邊界層的分離點，從而縮小後方尾流（Wake）區域，大幅降低壓差阻力（此即高爾夫球表面布滿凹洞的原理）。阻力減小，終端速度自然會變大。
小題 (一)
(一)試計算球體的終端速度。（20分）
思路引導 VIP
看到本題，首先要辨識出這是流體靜力學與動力學結合的「終端速度（Terminal Velocity）」計算題。接著應該從物體的自由體圖（Free Body Diagram）切入，分析物體在靜止流體中等速沉降時，其受力會達到平衡狀態。具體而言，即向下的重力（W）等於向上的浮力（Fb）加上流體阻力（Fd）。利用題目給定的比重推求球體重量，利用水密度計算浮力，再將阻力係數（Cd）代入阻力公式，列出平衡方程式後即可解出終端速度。計算時要注意所有單位的統一（建議使用 SI 單位制，如 N, kg/m^3, m）。
粗糙球面之阻力危機
💡 粗糙度誘發邊界層提早轉為紊流，延後分離並降低壓差阻力。
🔗 粗糙表面提升終端速度之因果鏈
- 1 誘發紊流 — 表面粗糙度使邊界層提早轉型為紊流
- 2 抵抗逆壓 — 紊流動能較強，可深入逆向壓力梯度區
- 3 延後分離 — 分離點由球體前方往後方推移
- 4 阻力危機 — 尾流區縮小導致壓差阻力與Cd劇降
- 5 速度提升 — 阻力降低使球體能達到更高終端速度
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🔄 延伸學習：延伸應用：高爾夫球表面的凹洞（Dimples）即是利用此原理增加飛遷距離。
