高考申論題
111年
[環境工程] 流體力學
第 五 題
司托克斯定律（Stokes’ law）常用於沉澱池中單顆粒沉降終端速度之計算，請推導下列公式：
$V_s = \frac{g}{18}(S_s - 1)\frac{d^2}{\nu}$
其中Vs：終端沉降速度、Ss：顆粒比重、d：顆粒直徑、ν：流體之運動黏滯係數（kinematic viscosity coefficient）、g：重力加速度〔推導過程中如有使用其他符號，務請註明其意義〕。（20分）
$V_s = \frac{g}{18}(S_s - 1)\frac{d^2}{\nu}$
其中Vs：終端沉降速度、Ss：顆粒比重、d：顆粒直徑、ν：流體之運動黏滯係數（kinematic viscosity coefficient）、g：重力加速度〔推導過程中如有使用其他符號，務請註明其意義〕。（20分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到「沉降終端速度」，首要思路為「牛頓第二定律受力平衡」，即當加速度為零時，顆粒受到的向下重力等於向上的浮力與流體阻力之和。針對微小球體沉降（Re < 1），直接套用斯托克斯阻力公式（Stokes' drag）$F_D = 3\pi\mu d V_s$，結合密度與黏度定義轉換，即可順利導出目標公式。
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【解題思路】利用牛頓第二運動定律，當球形顆粒沉降達到終端速度時，其所受之重力、浮力與流體阻力達到靜力平衡（加速度為零），結合斯托克斯阻力定律進行推導。 【詳解】 已知：條件整理與基本假設
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司托克斯定律推導
💡 基於等速沉降之力平衡，推導單顆粒終端速度公式。
🔗 司托克斯定律推導邏輯鏈
- 1 力平衡假設 — 假設等速沉降，ΣF = 0（重力 = 浮力 + 阻力）
- 2 代入物理量 — 代入球體體積與 Stokes 阻力公式 3πμdVs
- 3 代數化簡 — 消去共通項 π 與 d，整理 Vs 至等號左側
- 4 參數變換 — 導入 Ss = ρs/ρ 與 ν = μ/ρ 得到最終式
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🔄 延伸學習：延伸學習：當 Re > 1 時，阻力係數 Cd 不再是 24/Re，公式將失效。
