高考申論題
109年
[統計] 統計學
第 三 題
📖 題組：
某部門調查員工每人上個月上網購物消費金額。假設共有100名員工，上個月平均網購消費為3000元，標準差500元。 (一)若網購消費金額之分配近似常態，試問上個月網購介於2500元至3500元的員工大約幾人？（10分） (二)若網購消費金額之分配近似常態，試問上個月網購高於4000元的員工大約幾人？（5分） (三)若網購消費金額之分配為右偏，而你上個月網購消費金額為3000元，試問多數員工的網購消費金額比你高或低？為什麼？（5分）
某部門調查員工每人上個月上網購物消費金額。假設共有100名員工，上個月平均網購消費為3000元，標準差500元。 (一)若網購消費金額之分配近似常態，試問上個月網購介於2500元至3500元的員工大約幾人？（10分） (二)若網購消費金額之分配近似常態，試問上個月網購高於4000元的員工大約幾人？（5分） (三)若網購消費金額之分配為右偏，而你上個月網購消費金額為3000元，試問多數員工的網購消費金額比你高或低？為什麼？（5分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (三)
若網購消費金額之分配為右偏，而你上個月網購消費金額為3000元，試問多數員工的網購消費金額比你高或低？為什麼？（5分）
思路引導 VIP
看到「右偏分配」，首要想到的關鍵是集中趨勢量數的大小關係：眾數 < 中位數 < 平均數。接著利用中位數的定義（有一半的資料小於中位數）來推論多數資料的落點，進而與自己的消費金額（剛好為平均數）進行比較。
小題 (一)
試以動差法（method of moments estimation）求$\theta$之點估計值 $\hat{\theta} =$？
思路引導 VIP
動差法（MOM）的核心思想是「以樣本動差代替母體動差」。
- 首先，求出母體的第一動差（即期望值 E(X)），這會是一個包含未知參數 $\theta$的函數。
小題 (二)
試以最大概似法（method of maximum likelihood estimation）求$\theta$之點估計值 $\hat{\theta} =$？
思路引導 VIP
最大概似法（MLE）的標準流程（SOP）如下：
- 寫出概似函數 (Likelihood Function) L($\theta)$：即所有樣本機率的連乘積。
📜 參考法條
z_0.01 = 2.33, z_0.05 = 1.645, z_0.1 = 1.28
常態分配與偏態特性
💡 掌握常態分配機率計算及偏態分布中各集中量數之大小關係。
| 比較維度 | 右偏分配 (正偏) | VS | 常態分配 (對稱) |
|---|---|---|---|
| 圖形特徵 | 右側尾部較長 | — | 左右對稱鐘形 |
| 量數大小 | 平均數 > 中位數 | — | 平均數 = 中位數 |
| 多數值落點 | 多數值低於平均數 | — | 平均數兩側各半 |
💬右偏分配的平均數會被極大值拉高，導致超過半數的觀測值低於平均數。
