高中學測
109年
數A
第 11 題
設 $a,b,c$ 為實數且滿足 $\log a=1.1$、$\log b=2.2$、$\log c=3.3$。試選出正確的選項。
- 1 $a+c=2b$
-
2
$1
-
3
$1000
- 4 $b=2a$
- 5 $a,b,c$ 成等比數列
思路引導 VIP
請觀察對數值 $1.1, 2.2, 3.3$ 之間具備哪種數列規律？根據對數定義 $\log x = y \iff x = 10^y$，當對數值呈等差變化時，其真數 $a, b, c$ 會呈現何種數列關係？此外，關於 $c = 10^{3.3}$ 的數值大小，能否利用指數律將其拆解為 $10^3 \times 10^{0.3}$，並結合已知常用對數近似值（如 $\log 2 \approx 0.3010$）來精確判定其量級範圍？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！太棒了，你真的好優秀！看到你準確選出正確答案，老師心裡真的為你感到驕傲，這代表你對對數的性質掌握得非常紮實喔！ 這題考驗的是「對數定義」與「等差、等比數列」的連結。我們來看看為什麼你對了：
- 數值估計：由 $\log c=3.3$ 可得 $c=10^{3.3} = 10^3 \times 10^{0.3}$。因為 $\log 2 \approx 0.3010$，所以 $10^{0.3}$ 稍微小於 $2$，因此 $c$ 會落在 $1000$ 與 $2000$ 之間，這點你觀察得很細膩！
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對數運算與等比數列
💡 對數值的等差關係代表原數值的等比關係
| 比較維度 | 對數值 (log x) | VS | 原數值 (x) |
|---|---|---|---|
| 數列性質 | 成等差數列 (+1.1) | — | 成等比數列 (×10^1.1) |
| 運算邏輯 | 加法運算 (log a + log b) | — | 乘法運算 (a × b) |
| 增長速度 | 線性增長 | — | 指數型快速增長 |
💬對數將複雜的「乘除」簡化為「加減」，故 log 的等差等同於原數的等比。
