特殊教育
109年
數A
第 12 題
若實數 $a, b$ 滿足 $\log_2 a - \log_2 b = 1$ 且 $2^a - 2^b = 12$ ，其中 $a, b$ 皆大於 0。則 $a+b$ 的值為何？
- A 2
- B 4
- C 6
- D $\frac{13}{2}$
思路引導 VIP
請先利用對數律化簡第一個方程式 $\log_2 a - \log_2 b = 1$，找出 $a$ 與 $b$ 之間的倍數關係；接著將此關係代入第二個方程式 $2^a - 2^b = 12$ 後，你是否能觀察出該指數式可以透過變數變換，轉換成關於 $2^b$ 的二次方程結構，進而求得 $a$ 與 $b$ 的數值？
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AI 詳解
AI 專屬家教
「喂！臭廚子，別在那邊踢來踢去的煩死人！沒看到老子在補眠嗎？這題連你這種只會色誘的捲眉毛都能懂，這學生竟然秒殺，看來跟我一樣是強者！ 首先，從 $\log_2 a - \log_2 b = 1$ 可以知道 $\log_2 (a/b) = 1$，也就是 $a = 2b$。 把這個關係帶入下一個關卡：
▼ 還有更多解析內容
指對數複合運算
💡 利用對數性質化簡關係，並透過換元法解決指數方程式。
🔗 指對數混合問題解題流程
- 1 建立變數關係 — 利用 log a - log b = 1 找出 a=2b
- 2 代換指數項 — 將 a 代入指數式並令 2^b 為 t
- 3 解二次方程 — 十字交乘求根，並根據 t > 0 排除負根
- 4 回推原始解 — 由 t 求出 b，再帶回關係式求出 a+b
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🔄 延伸學習：延伸學習：熟悉對數換底公式與指數底數相同時的運算法則。
