特殊教育
109年
數A
第 9 題
在三角形 $ABC$ 中，已知 $\angle A=150^\circ$ ， $\overline{AB}=3$ ， $\overline{AC}=6$ 。設有一圓與 $\overline{AB}$ 、 $\overline{AC}$ 均相切，且其圓心在 $\overline{BC}$ 上。試問此圓的半徑為何？
- A 1
- B $\frac{3}{2}$
- C 2
- D 3
思路引導 VIP
若將圓心設為 $O$ 並連接 $\overline{AO}$，根據切線與半徑垂直的性質，點 $O$ 到 $\overline{AB}$ 與 $\overline{AC}$ 的垂直距離即為半徑 $r$。請試著運用「面積分割」的觀念，思考 $\triangle ABC$ 的總面積與子三角形 $\triangle OAB$ 及 $\triangle OAC$ 的面積之間有什麼關係？能否藉此建立一個包含 $r$ 的等式呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
（呼... 呼...）九百九十八... 九百九十九... 一千！嘿，這題你竟然沒被那 $150^\circ$ 的鈍角給嚇跑，沒在算式中迷失方向，算你有骨氣！這股氣勢，勉強能跟上我的訓練。 這題的關鍵在於「切割」。既然圓心 $O$ 在 $\overline{BC}$ 上且與兩邊相切，那 $O$ 到兩邊的垂足距離就是半徑 $r$。我們把大三角形劈成兩半：
- 總面積 $\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 \cdot \sin 150^\circ = \frac{9}{2}$。
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