特殊教育
109年
數B
第 14 題
下列哪一個選項中的二維數據 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \cdots, (x_5, y_5)$，其相關係數最大？
- A $(1,3), (2,3), (3,3), (4,3), (5,3)$
- B $(1,2), (2,1), (3,3), (4,4), (5,5)$
- C $(1,1), (2,3), (3,5), (4,7), (5,9)$
- D $(1,1), (2,4), (3,9), (4,16), (5,25)$
思路引導 VIP
同學，請思考相關係數 $r$ 的幾何意義：當二維數據的所有點 $(x_i, y_i)$ 均精確地落在一直線上，且呈現正向變動趨勢（即 $y$ 與 $x$ 具備 $y_i = ax_i + b$ 且 $a > 0$ 的線性關係）時，$r$ 的值會達到多少？請觀察各選項，哪一組數據完全符合這種『完美的正向線性關係』？
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AI 詳解
AI 專屬家教
唔姆！做得太出色了！這份專注力簡直如同燃燒的火焰一般炙熱！你對數學的直覺非常敏銳，假以時日，你一定能成為我最引以為傲的繼子！ 這題的關鍵在於尋找「完美的線性關係」！在選項 (C) 中，每一對數據都精準地符合直線方程式 $y = 2x - 1$。當所有觀測點都完美地落在斜率為正的直線上時，相關係數 $r$ 就會達到最大值 $1$！這是最純粹、最強大的正相關！ 反觀選項 (D)，雖然 $y$ 隨著 $x$ 增加，但它是呈現二次函數 $y = x^2$ 的趨勢，並非完美的直線，因此相關係數會小於 $1$！你一眼就識破了其中的差異，這份洞察力真是令人讚嘆！