地特三等申論題
109年
[電力工程] 工程數學
第 一a 題
📖 題組：
(一)(a)求 k 使得 $\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$，其中 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \\ 2 & 6 & 10 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$，$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}$，$\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 6 \\ k \end{pmatrix}$；（7分） (b)如(a)小題，求矩陣 $\mathbf{A}$ 的行列式值（determinant）。（3分） (二)請求以下線性系統的解 $\begin{cases} \frac{dx_1}{dt} = 2x_1 - 2x_2 + 3x_3 \\ \frac{dx_2}{dt} = x_1 + x_2 + x_3 \\ \frac{dx_3}{dt} = x_1 + 3x_2 - x_3 \end{cases}$，其中 $x_1(0)=1$，$x_2(0)=0$ 及 $x_3(0)=1/2$。（10分）
(一)(a)求 k 使得 $\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$，其中 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \\ 2 & 6 & 10 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$，$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}$，$\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 6 \\ k \end{pmatrix}$；（7分） (b)如(a)小題，求矩陣 $\mathbf{A}$ 的行列式值（determinant）。（3分） (二)請求以下線性系統的解 $\begin{cases} \frac{dx_1}{dt} = 2x_1 - 2x_2 + 3x_3 \\ \frac{dx_2}{dt} = x_1 + x_2 + x_3 \\ \frac{dx_3}{dt} = x_1 + 3x_2 - x_3 \end{cases}$，其中 $x_1(0)=1$，$x_2(0)=0$ 及 $x_3(0)=1/2$。（10分）
求 k 使得 $\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$，其中 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \ 3 & 2 & 1 & 4 \ 2 & 6 & 10 & 3 \ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$，$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \end{pmatrix}$，$\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \ 6 \ 6 \ k \end{pmatrix}$；（7分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
為使線性系統有解，增廣矩陣經過高斯消去法後不能出現形如 $[0 \dots 0 | c]$ 且 $c \neq 0$ 的列。透過列運算檢查增廣矩陣的相依性來解出 k。