地特三等申論題
109年
[電力工程] 工程數學
第 二 題
📖 題組：
(一)(a)求 k 使得 $\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$，其中 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \\ 2 & 6 & 10 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$，$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}$，$\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 6 \\ k \end{pmatrix}$；（7分） (b)如(a)小題，求矩陣 $\mathbf{A}$ 的行列式值（determinant）。（3分） (二)請求以下線性系統的解 $\begin{cases} \frac{dx_1}{dt} = 2x_1 - 2x_2 + 3x_3 \\ \frac{dx_2}{dt} = x_1 + x_2 + x_3 \\ \frac{dx_3}{dt} = x_1 + 3x_2 - x_3 \end{cases}$，其中 $x_1(0)=1$，$x_2(0)=0$ 及 $x_3(0)=1/2$。（10分）
(一)(a)求 k 使得 $\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$，其中 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \\ 2 & 6 & 10 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$，$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}$，$\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 6 \\ k \end{pmatrix}$；（7分） (b)如(a)小題，求矩陣 $\mathbf{A}$ 的行列式值（determinant）。（3分） (二)請求以下線性系統的解 $\begin{cases} \frac{dx_1}{dt} = 2x_1 - 2x_2 + 3x_3 \\ \frac{dx_2}{dt} = x_1 + x_2 + x_3 \\ \frac{dx_3}{dt} = x_1 + 3x_2 - x_3 \end{cases}$，其中 $x_1(0)=1$，$x_2(0)=0$ 及 $x_3(0)=1/2$。（10分）
請求以下線性系統的解
$\begin{cases} \frac{dx_1}{dt} = 2x_1 - 2x_2 + 3x_3 \ \frac{dx_2}{dt} = x_1 + x_2 + x_3 \ \frac{dx_3}{dt} = x_1 + 3x_2 - x_3 \end{cases}$，其中 $x_1(0)=1$，$x_2(0)=0$ 及 $x_3(0)=1/2$。（10分）
$\begin{cases} \frac{dx_1}{dt} = 2x_1 - 2x_2 + 3x_3 \ \frac{dx_2}{dt} = x_1 + x_2 + x_3 \ \frac{dx_3}{dt} = x_1 + 3x_2 - x_3 \end{cases}$，其中 $x_1(0)=1$，$x_2(0)=0$ 及 $x_3(0)=1/2$。（10分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
這是一組常微分方程式系統 $\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x}$。解題步驟為：1. 寫出係數矩陣 A。 2. 求出 A 的特徵值與對應的特徵向量。 3. 寫出通解形式。 4. 代入初始條件解出未定係數。
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AI 詳解
AI 專屬家教
【解題關鍵】將系統寫成矩陣形式 $\mathbf{x}' = \mathbf{A}\mathbf{x}$，求特徵值與特徵向量後代入初始條件求特解。 【解答】 計算：
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