地特三等申論題
109年
[電力工程] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
(一)已知一 RC 電路系統可由微分方程式（differential equation） $\frac{d}{dt}y(t)+5y(t)=5x(t)$ 表示，其中 $x(t)$ 為輸入，且 $y(t)$ 為輸出。假設 $x(t) = (3/5)e^{-2t}u(t)$，且初始條件（initial condition）$y(0^-)=-2$，求 $y(t)$。（8分） (二)已知一訊號 $x(t)$ 的單邊拉普拉斯轉換（unilateral Laplace transform）為： $$X(s) = e^{-2s}\frac{2s^2+1}{s(s+2)^2}$$ 請求該訊號 $x(t)$ 的初值（initial value）及終值（final value）。（8分）
(一)已知一 RC 電路系統可由微分方程式（differential equation） $\frac{d}{dt}y(t)+5y(t)=5x(t)$ 表示，其中 $x(t)$ 為輸入，且 $y(t)$ 為輸出。假設 $x(t) = (3/5)e^{-2t}u(t)$，且初始條件（initial condition）$y(0^-)=-2$，求 $y(t)$。（8分） (二)已知一訊號 $x(t)$ 的單邊拉普拉斯轉換（unilateral Laplace transform）為： $$X(s) = e^{-2s}\frac{2s^2+1}{s(s+2)^2}$$ 請求該訊號 $x(t)$ 的初值（initial value）及終值（final value）。（8分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
已知一 RC 電路系統可由微分方程式（differential equation） $\frac{d}{dt}y(t)+5y(t)=5x(t)$ 表示，其中 $x(t)$ 為輸入，且 $y(t)$ 為輸出。假設 $x(t) = (3/5)e^{-2t}u(t)$，且初始條件（initial condition）$y(0^-)=-2$，求 $y(t)$。（8分）
思路引導 VIP
這是一道常微分方程式題，適合用拉普拉斯轉換求解。將原方程式作單邊拉普拉斯轉換，代入初始條件 y(0^-) 及輸入 X(s)，解出 Y(s)，最後使用部分分式展開進行反拉普拉斯轉換求出 y(t)。
小題 (二)
已知一訊號 $x(t)$ 的單邊拉普拉斯轉換（unilateral Laplace transform）為：
$$X(s) = e^{-2s}\frac{2s^2+1}{s(s+2)^2}$$
請求該訊號 $x(t)$ 的初值（initial value）及終值（final value）。（8分）
$$X(s) = e^{-2s}\frac{2s^2+1}{s(s+2)^2}$$
請求該訊號 $x(t)$ 的初值（initial value）及終值（final value）。（8分）
思路引導 VIP
利用拉普拉斯轉換的初值定理和終值定理。先檢查終值定理的適用條件（sX(s) 的極點必須都在左半平面積）。注意 $e^{-2s}$ 代表時間平移，但在 s 趨近無限大及 0 的極限運算中可直接代入計算。