地特三等申論題
110年
[化學工程] 輸送現象與單元操作
第 二 題
二、一熱球懸浮於巨大靜止之流體中，熱球之表面溫度固定為 TR，流體之溫度為T∞ ，熱球之半徑及直徑分別為 R 及 D，熱球及流體之熱傳導係數（thermal conductivity）分別為 ks及 kf。在無任何對流之情況下，請求得熱傳係數（heat transfer coefficient）之關係式。（20 分）
📝 此題為申論題
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看到「無任何對流」的熱球傳熱，應立即聯想到這是純粹的流體熱傳導問題（靜止流體極限條件）。解題核心在於利用球座標下的穩態能量平衡方程式（無熱源），搭配表面與無窮遠的邊界條件求解流體溫度分佈，再透過傅立葉定律求出表面熱通量，最後與牛頓冷卻定律比對，即可求得熱傳係數 h 與極限紐塞耳數 Nu = 2。
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【解題思路】本題為球座標系統下之穩態、一維（徑向）純熱傳導問題。先由能量守恆方程式推導出流體溫度分佈，再利用傅立葉熱傳導定律計算球體表面熱通量，最後與牛頓冷卻定律結合，即可推導出熱傳係數與紐塞耳數（Nusselt number）之關係。 【詳解】 一、系統假設與控制方程式
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球體純導熱與紐塞耳數
💡 利用球座標穩態導熱方程式推導熱傳係數與 Nusselt 數
🔗 球體熱傳係數推導流程
- 1 建立控制方程 — 假設穩態、無熱源，使用球座標拉普拉斯方程式
- 2 解溫度分佈 — 連續兩次積分並代入 $R$ 與 $\infty$ 處邊界條件
- 3 傅立葉定律 — 計算球表面熱通量 $q'' = -k_f (dT/dr)$
- 4 定義 $h$ 與 $Nu$ — 利用 $q'' = h(T_R - T_\infty)$ 導出 $Nu = hD/k_f = 2$
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🔄 延伸學習：延伸學習：了解為何 $Nu=2$ 是球體自然對流的下限值
