普考申論題 110年 [工業工程] 工程統計學與品質管制概要

第一題

📖 題組：
二、某班級學生近視狀況如下表： [性別與近視與否表格] (一)請問「性別」與「近視與否」兩事件是否統計獨立？（10 分） (二)請問「性別」與「近視與否」兩事件是否互斥？（10 分）

📝 此題為申論題，共 2 小題

小題 (一)

請問「性別」與「近視與否」兩事件是否統計獨立？（10 分）

本題考查機率論中「統計獨立」的定義。當兩事件A與B統計獨立時，需滿足 $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ 或條件機率 $P(A|B) = P(A)$。解題時應先整理出表格的邊際總和（列總和、行總和與總樣本數），再任選一組事件代入公式檢驗是否相等即可得出結論。

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【解題思路】利用統計獨立的定義：若事件A與事件B獨立，則機率上必滿足 $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$。【解答】 Step 1：整理表格數據並計算邊際總和

請問「性別」與「近視與否」兩事件是否互斥？（10 分）

檢驗兩事件是否互斥的關鍵在於判斷它們是否能「同時發生」，即其聯合機率（交集機率）是否為零。只需從列聯表中觀察，若存在同時具備特定性別與近視狀態的學生人數（即交集大於 0），即可證明兩事件不互斥。

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【解題思路】利用互斥事件之數學定義（交集機率為零）進行判斷，並以表格中的實際數據作為檢驗依據。【詳解】已知：