高考申論題 110年 [材料工程] 材料熱力學

第一題

📖 題組：
完成馬克斯威爾公式與莫里爾圖分析。

📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (一)

完成以下這個馬克斯威爾公式（Maxwell equations）$(\partial T / \partial V)_S = ? $（2 分）

看到偏微分變數為 T, V, S，應立刻聯想到熱力學特徵函數中的內能（U）。寫出內能的基本微分方程式 dU = TdS - PdV，利用狀態函數全微分的二階交叉偏微分相等性質（尤拉定理），即可快速導出對應的馬克斯威爾關係式。

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【解題思路】利用內能 U 的全微分基本方程式及二階混合偏微分相等性質進行推導。【詳解】已知：結合熱力學第一與第二定律之基本微分方程式為 dU = TdS - PdV。

完成以下這個馬克斯威爾公式 $(\partial P / \partial T)_V = ? $（2 分）

看到馬克斯威爾關係式的推導，應立刻尋找變數為 T 與 V 的熱力學狀態函數。透過寫出亥姆霍茲自由能（Helmholtz free energy）基本方程式 dA = -SdT - PdV，配合全微分的交叉偏導數相等性質即可輕鬆求解。

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【解題思路】利用亥姆霍茲自由能（Helmholtz free energy）的基本熱力學方程式與全微分性質進行推導。【詳解】已知：

莫里爾圖（Mollier diagram）是 H-S 圖。在氣相區的等壓線（isobar）的斜率必須為正？為負？正負皆可？為什麼？（6 分）

看到莫里爾圖（H-S圖）與等壓線斜率，應立刻聯想熱力學基本方程式 dH = TdS + VdP。將等壓條件（dP = 0）代入，求出斜率 (∂H/∂S)_P 的物理意義（即絕對溫度 T），即可由 T 的特性判斷斜率的正負號。

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【解題思路】利用熱力學基本關係式 dH = TdS + VdP 找出 H-S 圖上等壓線斜率的物理意義。【詳解】已知：莫里爾圖為焓（H）對熵（S）的作圖。題目要求分析等壓線（isobar，即 dP = 0）的斜率 (∂H/∂S)_P。