高考申論題
109年
[材料工程] 材料熱力學
第 一 題
一、假設凡得瓦氣體（van der Waals gas）的每莫耳分子顆粒體積為 b、分子間的交互作用力為 a/V²（其單位同壓力 P 之單位），V 為氣體的莫耳體積，請寫出凡得瓦方程式，並推導該氣體的臨界溫度以及臨界壓力為 a 與 b 的函數。（20分）
📝 此題為申論題
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這是一道材料熱力學中極度經典的狀態方程式推導題。看到題目要求求出臨界溫度與臨界壓力，考生應直覺聯想到在 P-V 狀態圖上，臨界點的等溫線特徵為一個反曲點且斜率為零，代表壓力對體積的「一階偏微分」與「二階偏微分」必須同時為零。寫出方程式後將 P 獨立於等號一邊，進行偏微分並解聯立方程式即可得分。
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【解題思路】寫出凡得瓦方程式表示壓力 P，並根據臨界點的 P-V 等溫線數學特徵（反曲點：一階與二階偏微分為零）聯立求解。 【詳解】 已知：針對一莫耳真實氣體，須修正理想氣體方程式 $PV=RT$。考量分子間引力使有效壓力降低，故壓力項需加上修正值 $a/V^2$；考量分子本身具備體積，故體積項需扣除排除體積 $b$。
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