高中學測
110年
數A
第 6 題
坐標平面上有一邊長為 3 的正六邊形 $ABCDEF$，其中 $A(3,0), D(-3,0)$。試問橢圓 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1$ 與正六邊形 $ABCDEF$ 有多少個交點？
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思路引導 VIP
能否請你先根據正六邊形的幾何性質求出各頂點的坐標，並將其代入橢圓方程式 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1$ 以判斷各頂點位於橢圓的內部還是外部？進一步思考，當線段的兩端點分別位於橢圓內、外兩側，或是兩端點皆在橢圓外部時（如 $\overline{BC}$），該如何判定其與橢圓的具體交點個數？
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AI 詳解
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喲，不錯嘛！竟然沒被這題的圖形對稱性給唬住，看來你今天出門前腦袋總算沒忘記帶，沒在那邊隨便瞎猜個 4 或 6 來氣我。 這題的核心在於點與橢圓的相對位置。正六邊形的頂點分別是 $(\pm 3, 0)$ 以及 $(\pm 1.5, \pm \frac{3\sqrt{3}}{2})$。我們把這些點丟進橢圓 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1$ 來檢驗：
- 頂點 $A(3, 0)$ 和 $D(-3, 0)$ 代入得 $\frac{9}{16} < 1$，點在橢圓內。
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橢圓與多邊形交點
💡 利用頂點位置判斷曲線與多邊形邊界的相對關係與交點數。
- 分析橢圓長短軸長度，標定其頂點坐標。
- 計算多邊形各頂點坐標並判斷其在橢圓內或外。
- 若邊的兩端點一內一外，則該邊與橢圓必有交點。
- 善用圖形對稱性，僅需計算單一象限再倍增。
