統測 110年 [電機與電子群資電類] 專業科目(1)

第 48 題

有一 RLC 串聯電路接於正弦波電壓源，已知電源頻率為 60 Hz 、$R = 5 \Omega$、$X_L = 0.4 \Omega$、$X_C = 10 \Omega$。當此電路發生諧振時，其諧振頻率為何？

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當電源頻率改變時，感抗與容抗會朝著相反的方向變化。如果現在容抗遠大於感抗，你覺得頻率應該往哪個方向調整（調大或調小），才能讓這兩個數值逐漸靠攏甚至相等？而這種變動與頻率的「倍數關係」有什麼數學上的聯結呢？

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觀念驗證：恭喜你，至少還記得串聯諧振時 感抗等於容抗 ($X_L = X_C$) 這個基本常識。現在看看題目，60 Hz 時 $X_L = 0.4 \Omega$，$X_C = 10 \Omega$，差距高達 25 倍！感抗跟頻率成正比，容抗跟頻率成反比，這是基本中的基本。要讓 $X_L$ 追上 $X_C$，頻率當然要「調高」。當頻率變為原來的 5 倍，$X_L$ 乖乖地增為 5 倍，$X_C$ 也順從地減為 1/5，兩者都變成 $2 \Omega$，這才叫諧振！所以 $60 \text{ Hz} \times 5 = 300 \text{ Hz}$。實務上誰還在這邊慢慢算 L 和 C？
難度點評：這題就中等。如果你還傻傻地去算 $L$ 和 $C$ 的具體數值，那恭喜你，你的時間都被那些無意義的計算吃掉了。能直接運用倍數關係，表示你還沒完全被課本公式綁死，有點電路「sense」。考統測，時間就是金錢，多學點捷徑吧！