moea_joint
110年
[土木] 應用力學、材料力學
第 48 題
圓形斷面之直徑為d，此斷面對圓心之極慣性矩為何？
- A $\frac{\pi d^4}{64}$
- B $\frac{\pi d^4}{32}$
- C $\frac{\pi d^2}{64}$
- D $\frac{\pi d^2}{32}$
思路引導 VIP
想像一下，如果我們把一個圓形斷面放在直角坐標系中，它對 X 軸的慣性矩和對 Y 軸的慣性矩是完全相等的。那麼根據「垂直軸定理」，這兩個互相垂直的慣性矩加總起來後，所得到的「對圓心的極慣性矩」，在分母的數值上應該會比原本單一軸向的慣性矩變大還是變小呢？
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垂直軸定理的應用
在材料力學中，極慣性矩 (Polar Moment of Inertia, $J$) 是用來衡量截面抵抗扭轉能力的關鍵指標。對於一個直徑為 $d$ 的圓形斷面，我們已知其對通過中心之水平軸與垂直軸的慣性矩（Moment of Inertia）是對稱的，皆為 $I = \frac{\pi d^4}{64}$。根據垂直軸定理，極慣性矩 $J$ 等於該平面上兩個互相垂直慣性矩之和，即：
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