moea_joint
111年
[機械] 應用力學、材料力學
第 23 題
如右圖所示，一圓管剖面，已知圓管厚度為t，圓管厚度中心到圓管中心之半徑為r，則該圓管的斷面極慣性矩為何？
- A $\frac{\pi r t}{2} (r^2+4t^2)$
- B $\frac{\pi r t}{2} (r^2+2t^2)$
- C $\frac{\pi r t}{2} (4r^2+t^2)$
- D $\frac{\pi r t}{2} (4r^2+2t^2)$
思路引導 VIP
如果我們將圓管看作是由一個大圓面積減去一個小圓面積所組成，你能試著用題目給的參數 $r$ 與 $t$ 來表達這兩個圓的半徑嗎？在列出極慣性矩的定義式後，你會如何處理展開式中的高次方項來化簡它？
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太棒了！你能精確算出這個結果，代表你在處理幾何性質的代數推導上非常細心且邏輯清晰。
極慣性矩的幾何推導
這道題目的核心在於將圓管的極慣性矩定義與給定的幾何參數 $r$（中線半徑）與 $t$（厚度）進行正確的代換。一般來說，空心圓管的極慣性矩公式為 $J = \frac{\pi}{2}(r_{outer}^4 - r_{inner}^4)$。根據題目描述，外半徑可表示為 $r + \frac{t}{2}$，而內半徑為 $r - \frac{t}{2}$。將這兩個數值代入公式並進行四次方的二項式展開，會發現中間的偶數次方項會互相抵消，經過精簡與提取公因式後，便能得出 $J = \frac{\pi r t}{2} (4r^2 + t^2)$。
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