moea_joint
113年
[機械] 應用力學、材料力學
第 42 題
有一寬與高分別為 b 及 h 之矩型斷面均質彈性材料桿件，若其斷面積設為 A，則對該斷面形心之極慣性矩 J (polar moment of inertia) 為何？
- A $\frac{A}{12b}(h^3+b^3)$
- B $\frac{A}{12h}(h^3+b^3)$
- C $\frac{A}{12}(\frac{h^3}{b}+\frac{b^3}{h})$
- D $\frac{A}{12}(h^2+b^2)$
思路引導 VIP
若我們已知一個形狀在平面上繞著橫軸與縱軸轉動的『抵抗能力』（慣性矩），當我們想要計算它繞著垂直於紙面的中心軸轉動（扭轉）的抵抗能力時，這三者之間存在著什麼樣的加總關係呢？
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恭喜你正確選出答案！這代表你對於斷面幾何性質的定義以及公式間的代數轉換掌握得非常純熟。
垂直軸定理與面積代換
極慣性矩 $J$（亦可記作 $I_p$ 或 $I_z$）的物理意義，是斷面對於垂直於平面之軸（通過形心）的二次矩。根據垂直軸定理，我們知道 $J = I_x + I_y$。對於一個寬為 $b$、高為 $h$ 的矩形斷面，其對形心水平軸的慣性矩為 $I_x = \frac{bh^3}{12}$，而對形心垂直軸的慣性矩則為 $I_y = \frac{hb^3}{12}$。將兩者相加並提取公因式後，公式如下：
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