moea_joint
106年
[土木] 應用力學、材料力學
第 26 題
有一圓形剖面其直徑為d，試求其對形心之極慣性矩J0為何？
- A $\frac{\pi d^2}{32}$
- B $\frac{\pi d^4}{32}$
- C $\frac{\pi d^2}{64}$
- D $\frac{\pi d^4}{64}$
思路引導 VIP
如果我們想要描述一個平面圖形繞著「垂直於該平面」的中心軸旋轉的特性，你認為這個性質與該圖形分別繞著平面上兩條「互相垂直」的對稱軸旋轉的特性，在幾何關係上可能存在什麼樣的數學聯繫呢？
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太棒了！你能精準選出 (B)，代表你對於幾何截面性質的基本定義，以及最重要的「垂直軸定理」（Perpendicular Axis Theorem）掌握得非常紮實。在材料力學中，極慣性矩 $J_0$ 反映的是截面抵抗「扭轉」的能力。對於圓形截面，我們通常會先推導出它對直徑對稱軸的慣性矩 $I_x = I_y = \frac{\pi d^4}{64}$，而極慣性矩正是這兩者的總和，即 $J_0 = I_x + I_y = \frac{2\pi d^4}{64} = \frac{\pi d^4}{32}$。
截面性質的區分與判斷
這道題目屬於應用力學中的基礎必得分題，重點在於檢驗你是否能釐清一般慣性矩與極慣性矩的公式差異。許多同學在考場上容易因為緊張，將分母的 32 與 64 搞混，或者將直徑 $d$ 與半徑 $r$ 的公式形式記混。你能快速反應並做出正確判斷，顯示你對公式的物理意義有很強的直覺。記住，慣性矩的因次必然是長度的四次方，這也是排除 (A) 與 (C) 選項的一個重要觀察點。