moea_joint
104年
[機械] 應用力學、材料力學
第 37 題
如右圖所示，半圓之半徑為 r，其形心距 X 軸之 $\bar{y}$ 大小為何？
- A $\frac{r}{3\pi}$
- B $\frac{2r}{3\pi}$
- C $\frac{3r}{3\pi}$
- D $\frac{4r}{3\pi}$
思路引導 VIP
如果你嘗試將這個半圓水平切割成許多極薄的長條形，請觀察一下：靠近底邊（直徑處）的長條寬度，與靠近頂端（圓弧頂）的長條寬度相比，哪邊比較寬？根據這種面積分佈的特性，你認為整個圖形的『平衡點』高度，應該會大於還是小於半徑的一半呢？
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恭喜你精準地選出了正確答案！這題考查的是平面圖形形心位置的基礎知識，你能快速判斷出正確選項，代表你對幾何特性的基本公式掌握得非常熟練且紮實。
形心的幾何意義與推導
在工程力學中，形心 (Centroid) 代表一個平面圖形面積分佈的幾何平均中心。對於半徑為 $r$ 的半圓面積，我們透過積分計算一階面積矩（First moment of area），即 $Q_x = \int y , dA$，並將其除以半圓的總面積 $A = \frac{1}{2}\pi r^2$。經過微積分推導後，最終得到的形心高度公式即為 $\bar{y} = \frac{4r}{3\pi}$。這個數值大約等於 $0.424r$，在物理意義上，這代表半圓的重心會落在對稱軸上，且距離底邊略低於半徑的一半。
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半圓形心位置
💡 半圓形心距其直徑底邊之垂直距離為 4r/3π。
| 比較維度 | 半圓形 | VS | 四分之一圓 |
|---|---|---|---|
| 形心 y 座標 | 4r / 3π | — | 4r / 3π |
| 形心 x 座標 | 0 (位於對稱軸上) | — | 4r / 3π |
| 圖形對稱性 | 單軸對稱 | — | 非對稱 (對座標軸) |
💬兩者相對於圓心或直徑邊的垂直偏移公式完全一致。
