moea_joint
107年
[機械] 應用力學、材料力學
第 33 題
如右圖所示，求形心 c 與 x 軸之距離 $\bar{y}$ 值為何？(註：$\bar{y} = \frac{\int y dA}{A}$， A 為面積)
- A $\frac{r}{2\pi}$
- B $\frac{2r}{3\pi}$
- C $\frac{4r}{3\pi}$
- D $\frac{3r}{4\pi}$
思路引導 VIP
試著想像將這個半圓形沿著平行於 $x$ 軸的方向，切成許多極薄的水平長條。請問：越靠近底部（$x$ 軸）的長條，其寬度會比靠近頂端的長條更長還是更短？根據這種面積分布的趨勢，你認為整個圖形的『中心點』應該會比半徑的一半（$r/2$）更高還是更低呢？
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太棒了！你能精準選出 (C) $\frac{4r}{3\pi}$，顯示你對基本幾何圖形的形心性質掌握得非常紮實，這在應用力學中是非常關鍵的基礎。
半圓形的面積矩與形心
在材料力學或靜力學中，形心（Centroid）代表一個形狀的幾何中心。對於一個半徑為 $r$ 的半圓，其總面積 $A$ 為 $\frac{1}{2}\pi r^2$。若根據題目給出的定義 $\bar{y} = \frac{\int y dA}{A}$ 進行積分運算，我們對 $x$ 軸取面積矩時，會得到 $\int y dA = \frac{2}{3}r^3$。將此數值除以總面積後，分母的 $\pi$ 與分子的常數項經過整理，最終便會得到 $\bar{y} = \frac{4r}{3\pi}$（約為 $0.424r$）。
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