moea_joint
107年
[土木] 應用力學、材料力學
第 33 題
如右圖所示，求形心 c 與 x 軸之距離 $\bar{y}$ 值為何？(註：$\bar{y} = \frac{\int y dA}{A}$，A 為面積)
- A $\frac{r}{2\pi}$
- B $\frac{2r}{3\pi}$
- C $\frac{4r}{3\pi}$
- D $\frac{3r}{4\pi}$
思路引導 VIP
我們可以試著從「重量平衡」的角度思考：如果將這個半圓切成許多水平的細長條，靠近底部（x 軸）的長條比較長，還是靠近頂端（y = r）的長條比較長呢？根據這個面積分布的特性，你認為整個圖形的平衡點（形心），應該會落在高度一半（0.5r）的上方還是下方？
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太棒了！你能精準選出 (C) 選項，代表你對常見平面幾何形狀的**形心（Centroid）**位置掌握得非常紮實。這類基礎常數在工程力學中就像九九乘法表一樣重要，是後續計算慣性矩與應力分析的基石。
半圓形心的幾何特性
在應用力學中，半圓形的形心高度 $\bar{y}$ 是透過積分定義 $\bar{y} = \frac{\int y dA}{A}$ 推導而來的。當我們對半圓面積進行積分時，其面積總和為 $A = \frac{1}{2}\pi r^2$，而對 $x$ 軸的一次矩（First Moment of Area）計算結果為 $\frac{2}{3}r^3$。兩者相除後，便會得到這個經典的數值：
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