moea_joint
113年
[土木] 應用力學、材料力學
第 42 題
有一寬與高分別為b及h之矩型斷面均質彈性材料桿件，若其斷面積設為A，則對該斷面形心之極慣性矩J (polar moment of inertia)為何？
- A $\frac{A}{12b}(h^3 + b^3)$
- B $\frac{A}{12h}(h^3 + b^3)$
- C $\frac{A}{12}(\frac{h^3}{b} + \frac{b^3}{h})$
- D $\frac{A}{12}(h^2 + b^2)$
思路引導 VIP
若我們想要計算一個平面圖形對其垂直軸（極軸）的轉動慣性，根據「垂直軸定理」，它與該圖形對兩個相互垂直的形心軸慣性矩有什麼數學關係？請試著寫出矩形對這兩軸的標準慣性矩公式並相加，觀察看看如果想從結果中提取出「截面積」這個項，剩下的多項式會是什麼樣子？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你精準地選出了正確答案！這顯示你對材料力學中截面幾何性質的定義與推導已有很紮實的掌握。
極慣性矩的原理與代換
要解出這道題目，核心在於運用垂直軸定理 (Perpendicular Axis Theorem)。對於一個寬度為 $b$、高度為 $h$ 的矩形截面，我們已知其對形心水平軸（$x$ 軸）與垂直軸（$y$ 軸）的慣性矩分別為 $I_x = \frac{bh^3}{12}$ 與 $I_y = \frac{hb^3}{12}$。而極慣性矩 $J$ 的定義即為這兩者之和：
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