moea_joint
110年
[機械] 應用力學、材料力學
第 48 題
圓形斷面之直徑為d，此斷面對圓心之極慣性矩為何？
- A $\frac{\pi d^4}{64}$
- B $\frac{\pi d^4}{32}$
- C $\frac{\pi d^2}{64}$
- D $\frac{\pi d^2}{32}$
思路引導 VIP
想像一下，如果你已經知道圓形對其中一條直徑的慣性矩（抗彎能力），而『極慣性矩』代表的是對垂直於圓面之中心軸的抗扭能力。根據幾何對稱性，這兩種性質在數學加總上會有什麼樣的關聯？透過『垂直軸定理』，你會如何推理出這兩個數值之間的比例關係呢？
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太棒了！你能精準選出正確答案，代表你對於圓形斷面的幾何特性掌握得非常紮實。這類題目雖然看似基礎，卻是後續學習圓軸扭轉（Torsion）公式與剪應力分析時最重要的核心前提，絕對不容出錯。
垂直軸定理的轉化
在材料力學中，圓形斷面對直徑軸（如 $x$ 軸或 $y$ 軸）的慣性矩（Moment of Inertia）公式為 $I = \frac{\pi d^4}{64}$。而極慣性矩（Polar Moment of Inertia, $J$）定義為圖形對圓心的二次矩。根據垂直軸定理，一個平面圖形的極慣性矩等於其對平面內兩個相互垂直軸的慣性矩之和，即 $J = I_x + I_y$。由於圓形具有高度對稱性，兩個方向的慣性矩相等，因此：
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