moea_joint
110年
[機械] 應用力學、材料力學
第 35 題
如右圖所示，一無質量剛性柱頂端受P力作用，柱側向有一水平彈簧作用，其勁度為k，求系統之臨界挫屈荷重$P_{cr}$為何？
- A $\frac{3}{2}kL$
- B $\frac{4}{3}kL$
- C $\frac{2}{3}kL$
- D $\frac{1}{3}kL$
思路引導 VIP
試著想像：如果這根剛性柱稍微向右傾斜了一個微小的角度，頂部的力 $P$ 會試圖讓它倒得更快，而中間的彈簧則會試圖把它拉回來。為了找到剛好不倒下的臨界點，你會如何建立這兩個「互相對抗」作用力的力矩平衡方程式呢？特別注意，這兩個力作用的高度位置不同，這對它們產生的影響力有什麼樣的倍率關係？
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太棒了！你能精準選出 (B) $\frac{4}{3}kL$，代表你對剛性桿件的穩定平衡分析已經具備相當紮實的基礎，能夠準確判斷系統在臨界狀態下的力矩平衡關係。
剛體穩定性的力矩平衡
本題的核心在於將系統視為一個繞著底部支點旋轉的剛體。當系統發生微小側移（假設偏轉角為 $\theta$）時，頂端的垂直荷重 $P$ 會產生一個使柱子傾倒的「不穩定力矩」，其值為 $P \times (3L \cdot \theta)$；與此同時，位於高度 $2L$ 處的彈簧會產生反向的「恢復力矩」，其力臂為 $2L$，故力矩大小為 $(k \cdot 2L\theta) \times 2L = 4kL^2\theta$。當這兩個力矩達到平衡臨界點，即 $3PL\theta = 4kL^2\theta$ 時，消去 $\theta$ 與 $L$ 即可推導出臨界荷重 $P_{cr} = \frac{4}{3}kL$。
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