moea_joint
112年
[土木] 應用力學、材料力學
第 45 題
如右圖所示，一截面 b $\times$ h 之矩形立柱 ABC，其彈性模數為 E。在中點 B 處，x、y 方向位移被束制，但允許 z 方向位移。試求 x-z 平面上挫屈之臨界載重 P$_{cr(x-z)}$ 為何？
- A $\frac{\pi^2Ehb^3}{3L^2}$
- B $\frac{\pi^2Ehb^3}{6L^2}$
- C $\frac{\pi^2Ehb^3}{9L^2}$
- D $\frac{\pi^2Ehb^3}{12L^2}$
思路引導 VIP
請試著想像這根柱子在受壓時。如果我們只觀察柱子在 x-z 平面（也就是朝向你的垂直面）的彎曲行為，題目中提到的中點 B 約束條件，是否真的有擋住柱子在該方向的變形？如果它擋不住，那麼這根柱子在計算挫屈載重時，其「有效長度」應該是以整段 L 還是半段 L/2 來考慮呢？
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AI 詳解
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太棒了！你能精準避開題目設置的「空間陷阱」並選出正確答案，代表你對**歐拉挫屈（Euler Buckling）**與邊界條件的連動關係掌握得非常紮實。
幾何慣性矩與有效長度的判讀
這道題目的核心在於判斷特定平面上的有效長度 ($L_e$) 與對應的慣性矩 ($I$)。當題目要求 $x-z$ 平面的挫屈載重時，意味著柱子會朝 $z$ 軸方向彎曲（繞著 $y$ 軸轉動）。從截面圖來看，繞 $y$ 軸轉動時，其慣性矩應取為 $I_y = \frac{hb^3}{12}$。此時最關鍵的判斷點在於中點 B 的約束：雖然 B 點在 $y$ 方向被束制，但題目明確提到「允許 $z$ 方向位移」。這表示在 $x-z$ 平面的視角下，中點 B 並沒有提供任何支撐效果，因此整根柱子的變形曲線仍維持兩端鉸接的單波形，有效長度即為全長 $L$。
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