地特三等申論題
111年
[工業工程] 作業研究
第 三 題
某工廠欲尋求建置管線以購買原料液的最低總成本方案。所需要之總量已知為$T$立方公尺。可能的原料來源有 3 處，編號 1 至 3。與成本相關的因素如下（以下所有說明中，$i \in \{1,2,3\}$）：
1. 建置連接來源$i$之管線時，建置成本已知為$P_i$。
2. 每一原料來源均設定有一個已知的購買基本量$F_i$。實際購買量少於或等於基本量時，每立方公尺原料液之成本已知為$A_i$；實際購買量大於基本量時，超過的部分每立方公尺原料液之成本已知為$B_i$。
3. 若決定不向其中某些原料來源購買，則不必負擔相對應的管線建置成本。
4. 總成本為購買原料與建置管線之成本的總和。
試構建線性數學模式以描述上述問題。請注意：
1. 必須明確說明所有決策變數的定義。
2. 必須明確說明目標函數以及限制式之意義。
3. 模式可使用整數決策變數。
4. 模式必須為線性。
5. 以上$T$、$P_i$、$F_i$、$A_i$、$B_i$等均為已知值。這些值除了均為正值之外，構建模式時均不作其他假設。
6. 若認為題目條件不足，可自行作合理假設，但必須明確說明條件，並說明該條件之必要性。
（25 分）
📝 此題為申論題
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這是一道經典的「固定成本（Fixed Charge）」加上「分段線性成本（Piecewise Linear Cost）」的混合整數規劃（MILP）建模題。解題關鍵在於引入 0-1 二元決策變數：一個用來控制管線建置的固定成本與總開關，另一個用來強制「必須先買滿基本量，才能以超量單價購買」的邏輯順序（因為題目未限定 A_i 與 B_i 的大小關係，可能存在數量折扣），並利用大M法（Big-M）將邏輯條件線性化。
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【解題思路】採用混合整數線性規劃（MILP）進行建模。透過引入二元決策變數（0-1變數）來處理管線建置的固定成本，以及分段購買數量的邏輯順序，並確保模型符合線性的要求。 【詳解】 一、決策變數定義
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