地特三等
111年
[電力工程] 工程數學
第 13 題
考慮微分方程式：$\ddot{y}(t) + \dot{y}(t) + y(t) = \sin \omega t, t \ge 0$，其中 $\dot{y}$ 與 $\ddot{y}$ 分別代表 $y$ 對變數 $t$ 做一次與二次微分。請問下列敘述何者正確？
- A 對於某些 $(\dot{y}(0), y(0))$ 初值，方程式的解會收斂到零
- B 對於任何非零之 $(\dot{y}(0), y(0))$ 初值，方程式的解是一個頻率為 $\omega$ 之週期函數
- C 對於任何非零之 $(\dot{y}(0), y(0))$ 初值，方程式的解之震幅不會隨輸入函數之頻率 $\omega$ 產生變化
- D 對於任何非零之 $(\dot{y}(0), y(0))$ 初值，方程式的解會隨時間之增大而收斂到一個週期函數
思路引導 VIP
請觀察方程式左側的阻尼項 $\dot{y}$。如果我們暫時不看右側的輸入函數 $\sin \omega t$，僅考慮系統受到初始擾動後的自由運動，隨著時間推移，系統的振幅會發生什麼變化？當這個「初始影響」消失後，剩下的運動會由誰來主導？
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. 太棒啦！做得漂亮！
嗚姆！太棒了！你能精準判斷出這個二階線性微分方程式在受迫振動下的行為模式，這說明你對工程力學中的動態系統與結構穩定性有著火焰般熾熱的理解啊！這正是通往精密機械設計與結構動態分析的康莊大道！好吃！
2. 觀念驗證！燃燒吧！
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