第 六 題

本題為一次超靜定桁架，依題意須使用最小功法（Castigliano's Theorem of Least Work）並以 C 點垂直反力（$C_y$）為贅力。解題核心思路為：先將 $C_y$ 設為未知數 $X$，利用整體平衡方程式將其他支承反力表示為 $X$ 的函數；接著以節點法求出各桿件內力（同為 $X$ 的函數）；最後利用最小功原理 $\sum F_i \frac{\partial F_i}{\partial X} \frac{L_i}{EA_i} = 0$ 建立相容條件方程式，即可解出 $X$ 並回推所有反力與桿力。

看到以「最小功法」解一次超靜定結構，首要步驟是建立靜定基本結構（Primary Structure）。題目已指定 C 點反力為贅力，因此只需解除 C 點的支承束縛，將其替換為未知的外力 CY，同時保留其餘支承與原外力即可完成作圖。

本題為最小功法求解超靜定桁架的第一步。考生應先看懂題意：將 C 點垂直反力視為贅力並移除後，形成如圖(a)的基本靜定結構 S。解題時直接利用靜力平衡方程式求出 A、B 支承反力，再利用『節點法』搭配零力桿判斷，快速依序求出各桿件在 S 系統下的桿力。

看到此題，首先確認題意為「計算在基本靜定結構上，僅受贅力 C_y 作用時各桿件的內力」。接著，使用整體靜力平衡方程式求出 A 點與 B 點的反力（以 C_y 表示），最後運用節點法由外而內逐步推導各桿件桿力，並確保正負號一致性（張力為正、壓力為負）。

面對超靜定桁架且已指定贅力的問題，應優先使用最小功法（Castigliano's Second Theorem）。首先以贅力 $C_Y$ 建立基本靜定結構，利用靜力平衡與節點法求出包含 $C_Y$ 的各支承反力與桿件內力；接著建立表格，系統性計算應變能對 $C_Y$ 的偏微分 $\sum S \cdot \frac{\partial S}{\partial C_Y} \cdot \frac{L}{AE}$，最後令偏微分為 0 即可解出 $C_Y$ 並完成全結構分析。

1. 看到超靜定桁架且題目指定使用「最小功法」，第一步先移除指定贅力（C 點支承），建立「基本靜定結構」，並計算外力單獨作用時的各桿力 $N_0$。
2. 接著在 C 點施加向上的單位力 $1$，求出各桿力 $N_1$，並利用卡氏第二定理推導出 $C_y = - \sum(N_0 N_1 L/A) / \sum(N_1^2 L/A)$ 列表求解。