高考申論題
111年
[醫學工程] 生物輸送原理
第 一 題
📖 題組：
小明在手臂肌肉上注射了藥物 A，之後藥物從注射點向周圍組織擴散。假設擴散行為僅在一維方向（X 方向）發生，且其擴散係數為 DA，另藥物在擴散當中亦同時會與組織成分發生反應，其反應為一階函數，反應速率常數為 k。
小明在手臂肌肉上注射了藥物 A，之後藥物從注射點向周圍組織擴散。假設擴散行為僅在一維方向（X 方向）發生，且其擴散係數為 DA，另藥物在擴散當中亦同時會與組織成分發生反應，其反應為一階函數，反應速率常數為 k。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
假設整體輸送系統為一不可壓縮之流體（incompressible fluid），請推導該藥物濃度（CA）對於位置（x）與時間（t）關係的質量守恆方程式。推導過程中請詳細說明「項次處置方式」與「題目中之假設情形」之關係。（7 分） [提示公式]： $D_A \nabla^2 C_A + \phi_A^m = \partial C_A / \partial t$ （$\phi_A^m$ 為反應速率項）
思路引導 VIP
從一般質量守恆方程式出發，根據題目給定的假設（一維擴散、無流動、一階反應消耗）逐項簡化方程式。重點在於清楚說明各個數學項次如何對應題目的物理與生理假設，例如拉普拉斯算子的降維，以及一階反應消耗項的負號表示。
小題 (二)
假設藥物 A 於注射點處（X = 0）之濃度（C0）維持恆定（即注射點處之藥物量>>擴散出去之藥物量），請列出可能之邊界條件（Boundary conditions）。（6 分）
思路引導 VIP
面對輸送現象的邊界條件問題，首先確認系統的幾何維度與空間範圍（此題為半無限大的一維組織空間 X ≥ 0）。接著，將題意中的「注射點恆定濃度」轉換為數學表達式（X=0），並結合生理常理思考藥物在「無限遠處組織（X→∞）」因反應消耗與擴散衰減的濃度極限狀態。
小題 (三)
根據(一)與(二)之結果，請推導在穩態（Steady state）的情形下，藥物濃度的表示為何？（7 分）
思路引導 VIP
面對結合擴散與反應的傳輸問題，首先應寫出完整的質量守恆方程式（Species Conservation Equation）。接著套用『穩態』條件消去時間微分項，將偏微分方程式轉為易解的二階常微分方程式（ODE），最後輔以合理的生理邊界條件（如距離無窮遠處藥物因組織代謝而濃度衰減至零）即可求得濃度分佈。