高中學測
111年
數B
第 7 題
畫家把空間景物用單點透視法畫在平面的畫紙上時，有以下原則要遵守：
一、空間中的直線畫在畫紙上必須是一條直線。
二、空間直線上點的相關位置必須和畫紙所畫的點的相關位置一致。
三、空間直線上的任四個相異點的 $K$ 值，和畫紙所畫的四個點之 $K$ 值必須相同，其中 $K$ 值的定義如下：直線上任給四個有順序的相異點 $P_1, P_2, P_3, P_4$，如下圖。
其所對應的 $K$ 值定義為 $K = \frac{P_1P_4 \times P_2P_3}{P_1P_3 \times P_2P_4}$。
今某畫家依照以上原則，將空間中一直線及該線上的四相異點 $Q_1, Q_2, Q_3, Q_4$ 描繪在畫紙上，其中 $\overline{Q_1Q_2}=\overline{Q_2Q_3}=\overline{Q_3Q_4}$。若將畫紙上所畫的直線視為一數線，並將線上的點用坐標來表示，則在下列選項的四個坐標中，試問哪一組最可能是該四點在畫紙上的坐標？
- 1 1, 2, 4, 8
- 2 3, 4, 6, 9
- 3 1, 5, 8, 9
- 4 1, 2, 4, 9
- 5 1, 7, 9, 10
思路引導 VIP
既然題目已知空間中的原始點位滿足 $\overline{Q_1Q_2} = \overline{Q_2Q_3} = \overline{Q_3Q_4}$，請試著假設這三段長度均為一個常數 $d$ (例如 $d=1$)，並代入 $K$ 值的定義式 $K = \frac{\overline{P_1P_4} \times \overline{P_2P_3}}{\overline{P_1P_3} \times \overline{P_2P_4}}$，算出在「空間中」這四個點所對應的 $K$ 值具體是多少？算出這個關鍵的常數後，再根據原則三「投影後 $K$ 值不變」的要求，哪一組選項的坐標計算出的 $K$ 值會與其相符呢？
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