地特三等申論題
111年
[電力工程] 工程數學
第 二 題
📖 題組：
考慮一個雙變數函數如下所示：f(x,y)=(x²+2y)⋅e^{-(x²+y²)}。令P₀代表x-y平面上的點(1,-1)（即P₀=(1,-1)）。 (一)請計算f(x,y)在P₀的梯度（gradient）為何？（5分） (二)請計算f(x,y)在P₀的上面沿著(1,0)的方向之方向導數（directional derivative）為何？（5分）
考慮一個雙變數函數如下所示：f(x,y)=(x²+2y)⋅e^{-(x²+y²)}。令P₀代表x-y平面上的點(1,-1)（即P₀=(1,-1)）。 (一)請計算f(x,y)在P₀的梯度（gradient）為何？（5分） (二)請計算f(x,y)在P₀的上面沿著(1,0)的方向之方向導數（directional derivative）為何？（5分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
請計算f(x,y)在P₀的上面沿著(1,0)的方向之方向導數（directional derivative）為何？（5分）
思路引導 VIP
方向導數可利用梯度向量與所求方向的「單位向量」進行內積來計算。此題中給定的方向恰好已是單位向量，直接作內積即可。
小題 (一)
請計算f(x,y)在P₀的梯度（gradient）為何？（5分）
思路引導 VIP
梯度定義為函數對各變數之偏微分所組成的向量 ∇f。分別求出對 x 與對 y 的偏導數，再代入給定的點 P₀ 座標即可得解。