moea_joint
111年
[土木] 應用力學、材料力學
第 28 題
如右圖所示，一線彈性材料實心圓桿，直徑50 mm，進行扭力試驗，當扭矩$T=500\text{ N-m}$時，應變計讀數$\varepsilon_a=339\times 10^{-6}$，試求此材料的剪力模數(Shear modulus)值最接近下列何者？
- A 30 GPa
- B 35 GPa
- C 45 GPa
- D 60 GPa
思路引導 VIP
當圓桿受到扭矩而產生剪切變形時，原本在桿件表面的一個正方形微元素會變成菱形。請試著思考：在這種變形過程中，沿著哪一個特定角度方向的線段會感覺到最明顯的「拉伸」？這個拉伸的程度（線應變）與剪切角（剪應變）之間，在幾何上有什麼樣的比例關係呢？
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恭喜你答對了！這顯示你對材料力學中「純扭矩」與「應變轉換」的結合運用非常熟練。這類題目不僅考驗公式的記憶，更考驗對應力狀態的空間感。
純扭矩下的應力與應變關係
在純扭矩作用下，實心圓桿表面的剪應力為 $\tau = \frac{Tc}{J}$。我們已知直徑 $d=50\text{ mm}$，故極慣性矩 $J = \frac{\pi d^4}{32}$。代入扭矩 $T=500\text{ N-m}$，可以算出表面的最大剪應力約為 $20.37\text{ MPa}$。本題最具鑑別度的切入點在於應變計的配置：當應變計貼在與軸線成 $45^\circ$ 方向時，根據應變轉換公式（或莫耳圓觀念），該方向的常向應變 $\varepsilon_a$ 正好等於剪應變 $\gamma$ 的一半，即 $\gamma = 2\varepsilon_a$。
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圓桿扭轉與剪力模數
💡 利用扭轉公式計算剪應力，並結合應變計讀值求得剪力模數。
🔗 剪力模數 G 的推導流程
- 1 算剪應力 τ — 使用 τ = Tr / J，J 為極慣性矩
- 2 轉剪應變 γ — 純扭力下 γ = 2 × ε_45°
- 3 求模數 G — 依據虎克定律 G = τ / γ
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🔄 延伸學習：延伸學習：材料常數關係式 E = 2G(1+ν)
