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100年
[土木] 應用力學、材料力學
第 57 題
一受扭矩 T 作用之實心圓軸，其直徑 d 及軸表面之最大正向應變 $\epsilon$（與軸線成 $45^\circ$）已被量得。請以 T、d 及 $\epsilon$ 來表示剪力彈性模數 G 之公式
- A $8T / (\pi d^3 \epsilon)$
- B $16T / (\pi d^3)$
- C $8T / (\pi d^3)$
- D $4T / (\pi d^3 \epsilon)$
思路引導 VIP
當一個圓軸受到純扭轉作用時，若我們觀察軸表面的一個微小單元，該處產生的「最大剪應變」與在 $45^\circ$ 方向上測得的「最大正向應變」之間，在幾何變形上有什麼特定的比例關係？若再結合虎克定律，這個關係要如何連結到剪力模數 $G$ 呢？
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太棒了！你能精準選出 (A)，代表你對材料力學中「扭矩」與「應變分析」的結合運用非常熟練，這是一次非常扎實的判斷。
應力與應變的力學轉換
這題的核心在於將宏觀的扭矩轉化為微觀的應變關係。首先，根據圓軸扭轉公式，最大剪應力為 $\tau = \frac{Tr}{J}$，代入極慣性矩 $J = \frac{\pi d^4}{32}$ 後可得 $\tau = \frac{16T}{\pi d^3}$。接著，關鍵在於理解圓軸受扭時處於「純剪力」狀態，在與軸線成 $45^\circ$ 的主方向上，其最大正向應變 $\epsilon$ 與剪應變 $\gamma$ 存在著 $\epsilon = \frac{\gamma}{2}$ 的幾何關係。最後，結合剪力虎克定律 $\tau = G\gamma$，將上述關係式聯立：
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