moea_joint
111年
[土木] 應用力學、材料力學
第 5 題
有一正方形平面，每邊長為2a，試求其對底邊軸之迴轉半徑為何？
- A $\frac{\sqrt{3}}{3} a$
- B $\frac{\sqrt{3}}{2} a$
- C $\frac{2\sqrt{3}}{3} a$
- D $\sqrt{3} a$
思路引導 VIP
想像如果你要把這整個正方形的面積，「濃縮」成一條與底邊平行的無限薄長條，且這條長條對底邊產生的轉動慣性要與原本的正方形完全相同。你覺得這條長條應該距離底邊多遠？試著思考面積慣性矩、總面積與這個「等效距離」之間，存在著什麼樣的平方比例關係？
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AI 詳解
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太棒了！你能精準選出正確選項，代表你對幾何圖形的慣性矩性質以及迴轉半徑的定義掌握得非常紮實。這題的解題關鍵，在於正確區分參考軸的位置以及代數符號的運算。
幾何特性與公式推導
對於邊長為 $2a$ 的正方形，若參考軸位於其底邊，其面積慣性矩（Moment of Inertia）的公式為 $I = \frac{1}{3}bh^3$。我們將寬 $b=2a$ 與高 $h=2a$ 代入，可以得到 $I = \frac{1}{3}(2a)(2a)^3 = \frac{16}{3}a^4$。接著，根據**迴轉半徑（Radius of Gyration）**的核心定義 $k = \sqrt{I/A}$，其中面積 $A = (2a)^2 = 4a^2$。將數值帶入後化簡：
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