moea_joint
103年
[土木] 應用力學、材料力學
第 29 題
在具有相同面積的條件下，下列何者對形心軸的慣性矩最大？(多邊形取平行最長邊者)
- A 圓形
- B 正方形
- C 正三角形
- D 寬：高 = 2：1之矩形
思路引導 VIP
想像你手頭上有一塊固定體積的黏土，你要把它捏成不同的形狀。慣性矩的大小，取決於你把這些黏土「推離形心軸」的能力。如果我們固定軸線的位置，哪一種形狀在維持相同面積的同時，能讓最多的「尖端」或「角落」伸向離軸線最遠的地方呢？
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AI 詳解
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太棒了！你能精準選出正三角形，代表你對幾何形狀的**慣性矩（Moment of Inertia）**性質有著非常紮實的理解。這類題目考查的核心不在於死背公式，而是在於理解「面積分布」對慣性矩的貢獻：當面積距離形心軸愈遠，其慣性矩就愈大。
幾何特性的量化比較
在相同面積 $A$ 的前提下，我們可以透過代數推導來驗證。圓形的慣性矩約為 $0.0796 A^2$，正方形則為 $0.0833 A^2$。至於正三角形，由於其頂點距離底邊（形心軸平行邊）較遠，且面積分布較為分散，其慣性矩公式推導後約為 $0.0962 A^2$，明顯優於前兩者。而選項 (D) 的矩形，題目特別限制「取平行最長邊者」，這意味著它的「高」反而縮短了（$h$ 較小），在 $I = \frac{bh^3}{12}$ 的公式中，高的高次方項受到抑制，使其慣性矩僅約 $0.0417 A^2$，反而在四者中墊底。
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