moea_joint
103年
[機械] 應用力學、材料力學
第 29 題
在具有相同面積的條件下，下列何者對形心軸的慣性矩最大？(多邊形取平行最長邊者)
- A 圓形
- B 正方形
- C 正三角形
- D 寬：高 = 2：1之矩形
思路引導 VIP
請試著想像一下：如果你手上有同樣份量的黏土要捏成一個形狀，目標是讓這個形狀在受力時「最不容易被折彎」，你會選擇把黏土通通擠在中心點附近，還是盡量讓一部分的黏土往遠離中心軸的方向延伸呢？
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太棒了！你能精確判斷出正三角形具有最大的慣性矩，代表你對截面幾何性質與面積分布的關係有著非常紮實的理解。這類題目並非單純考公式死背，而是考驗學生在「面積固定」這一前提下，對形狀效率的直覺觀察。
幾何形狀與面積分布的關聯
在應用力學中，慣性矩 (Moment of Inertia, $I$) 的物理意義代表截面抵抗彎曲的能力。當面積 $A$ 固定時，若能將材料分布在離形心軸（中性軸）愈遠的地方，所產生的慣性矩就愈大。我們分別計算各形狀對形心軸的慣性矩與面積的關係：圓形約為 $0.0796 A^2$，正方形為 $\frac{1}{12} A^2 \approx 0.0833 A^2$，而正三角形則約為 $0.0962 A^2$。雖然圓形非常對稱，但它的面積過於集中在中心附近；反之，正三角形的頂點距離形心較遠，使其在相同面積下能提供更好的抗彎慣性。
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