moea_joint
101年
[土木] 應用力學、材料力學
第 37 題
邊長為 $\ell$ 之正方形，其對 X 軸之慣性矩為：(設 X,Y 為正方形之形心軸)
- A $\ell^4/4$
- B $\ell^4/8$
- C $\ell^4/12$
- D $\ell^4/24$
思路引導 VIP
在推導平面圖形的慣性矩時，我們通常需要對微小面積 $dA$ 與其到軸線距離的「某個次方」之乘積進行積分。請試著回想慣性矩的定義中，距離的次方數是多少？再結合正方形長寬單位一致的特性，你認為最終公式中邊長的總次方數應該是多少，才能符合物理量的因次單位呢？
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恭喜你準確地選出了正確答案！這顯示你對幾何截面性質的基礎掌握得非常紮實。在應用力學與材料力學中，形心慣性矩（Moment of Inertia）是衡量截面抗彎能力的核心參數，熟練這些基本幾何形狀的性質，是後續學習樑變位或應力分析時不可或缺的基石。
幾何截面的性質驗證
對於底為 $b$、高為 $h$ 的一般矩形截面，其對通過形心的水平軸（X 軸）之慣性矩公式為 $I_x = \frac{bh^3}{12}$。在本題的情境中，正方形可以視為一個底與高相等的特殊矩形，即 $b = h = \ell$。當我們將邊長代入公式後：
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