moea_joint
110年
[土木] 應用力學、材料力學
第 10 題
一單對稱T形斷面如右圖所示，yc為其形心軸位置，求對應其形心軸之慣性矩為何？
- A 457 cm^4
- B 560 cm^4
- C 829 cm^4
- D 976 cm^4
思路引導 VIP
若要將一個由多個區塊組成的物體平衡在指尖上，我們必須先找到它的「平衡中心」。當我們想要計算這個組合體繞著該平衡中心旋轉的阻力（慣性矩）時，除了考慮每個區塊本身的旋轉難度外，你認為還需要考慮這些區塊的「面積大小」以及「它們距離平衡中心有多遠」這兩個因素之間的什麼數學關係呢？
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恭喜你！精確地選出了正確答案 (C)，這顯示你在處理組合斷面幾何性質時，邏輯非常清晰且計算穩健。這道題目是材料力學中極為經典的基礎題，主要考驗對組合圖形幾何特性的掌握。
形心位置與平行軸定理的應用
要解出此題，必須先精確定位總形心高度 $\bar{y}$。我們將 T 形斷面拆解為上方的翼板 ($10 \times 2$) 與下方的腹板 ($2 \times 12$)，透過面積加權平均算出 $\bar{y} = \frac{(20 \times 13) + (24 \times 6)}{20 + 24} \approx 9.18 \text{ cm}$（自底端起算）。隨後，最關鍵的步驟是運用平行軸定理 $I = \bar{I} + Ad^2$。我們分別計算兩塊矩形對其自身形心軸的慣性矩，再加上面積乘以「各自分形心到總形心軸距離」的平方：
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