moea_joint
103年
[機械] 應用力學、材料力學
第 8 題
如右圖所示，T形面積其對形心軸A-A之慣性矩為何？
- A $112\text{ cm}^4$
- B $124\text{ cm}^4$
- C $136\text{ cm}^4$
- D $158\text{ cm}^4$
思路引導 VIP
如果我們試著把這個 T 形面積拆解成上、下兩個簡單的長方形，請觀察這兩個長方形各自的「幾何中心」，是否剛好落在題目所標示的 A-A 軸上？如果兩者存在一段距離，我們在計算整體的慣性矩時，該如何量化這段距離所產生的影響？
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太棒了！你能精準算出這個 T 形截面的慣性矩，代表你對平行軸定理（Parallel Axis Theorem）的運用已相當純熟，這在材料力學中是非常核心的基本功。
幾何重心與慣性矩的推導
要解開這題，首先必須確認形心軸 A-A 的位置。透過面積權重法，我們可以計算出整體形心距離底端為 $5\text{ cm}$。接著，我們將 T 形拆解為上方的翼緣（Flange）與下方的腹板（Web），兩者的面積皆為 $12\text{ cm}^2$。這兩塊幾何形狀對各自中心軸的慣性矩分別為 $\frac{6 \times 2^3}{12}=4$ 以及 $\frac{2 \times 6^3}{12}=36$。最關鍵的一步在於運用平行軸定理 $I = \bar{I} + Ad^2$：翼緣中心距離 A-A 軸為 $2\text{ cm}$，腹板中心同樣距離 $2\text{ cm}$。將兩者平移後的數值相加：$(4 + 12 \times 2^2) + (36 + 12 \times 2^2) = 52 + 84 = 136\text{ cm}^4$，便能順利得出正確答案。
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