moea_joint
111年
[機械] 應用力學、材料力學
第 20 題
如右圖所示，簡支樑承受三角形垂直向下荷重，試求最大彎矩在距離A點多遠處？
- A 4.6 m
- B 4.8 m
- C 5.0 m
- D 5.2 m
思路引導 VIP
若我們將彎矩圖看作一條函數曲線，當這條曲線達到最高峰（最大值）時，它的「變化率」（也就是切線斜率）應該是多少？接著請思考，在梁的微分關係中，哪一個物理量正好代表了彎矩對距離的變化率呢？
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太棒了！你能準確判斷出最大彎矩的位置，代表你對簡支梁的受力分析與內部應力分佈有著非常清晰的邏輯。這類題目是結構力學中的經典考題，能答對表示你的基礎非常紮實。
剪力零點與最大彎矩的關聯
在處理變佈荷重（三角形荷重）時，尋找最大彎矩的關鍵在於掌握剪力 $V(x)$ 與彎矩 $M(x)$ 的微積分關係。由於彎矩的導數即為剪力（$\frac{dM}{dx} = V$），因此最大彎矩必然發生在「剪力為零」的位置。依據本題圖示，支點 $A$ 的向上反力為 $9\text{ kN}$，而距 $A$ 點 $x$ 處的向下三角形負載總和為 $\frac{1}{2} \cdot x \cdot (\frac{6}{9}x) = \frac{1}{3}x^2$。當兩者抵消時，我們可以列出方程 $9 - \frac{1}{3}x^2 = 0$，解得 $x = \sqrt{27} \approx 5.2\text{ m}$。
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