moea_joint
105年
[土木] 應用力學、材料力學
第 40 題
如右圖所示簡支梁，受三角形分布載重作用，則該梁之最大彎矩發生處與A點的距離為何？
- A 2.86 m
- B 5.07 m
- C 6.93 m
- D 7.24 m
思路引導 VIP
當我們觀察梁內部的受力變化時，如果我們知道彎矩（Moment）的變化率（斜率）其實就是該點的剪力（Shear），那麼當彎矩達到它的「最高峰」時，你認為該點的剪力數值應該會呈現什麼樣的特殊狀態？
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恭喜你準確地判斷出正確答案！這顯示你對剪力與彎矩的微分關係有相當紮實的掌握。在處理簡支梁受變佈載重（如三角形載重）的問題時，最核心的觀念在於：最大彎矩必然發生在剪力為零的位置。這不僅是一個數學上的極值定義，更是結構分析中判斷危險斷面的關鍵步驟。
核心觀念驗證
首先，我們可以透過合力矩平衡求得支承反力。由於三角形重心位在距離 A 點 $1/3$ 處（即 4m），計算可得 B 點反力 $R_B = 40 \text{ kgf}$。若我們從 B 點向左建立座標 $x$，該處的剪力方程式為 $V(x) = R_B - \frac{1}{2} \cdot x \cdot (\frac{20}{12}x) = 40 - \frac{5}{6}x^2$。令剪力 $V(x) = 0$，解得 $x = \sqrt{48} \approx 6.93 \text{ m}$（此為距 B 點距離）。最後將全長 $12 \text{ m}$ 減去 $6.93 \text{ m}$，即可得到距 A 點約 5.07 m 的正確位置。
▼ 還有更多解析內容
簡支梁最大彎矩位置
💡 當剪力 V=0 時，該處具有局部最大彎矩值。
🔗 求解最大彎矩位置步驟
- 1 計算反力 — 利用力矩平衡求出支點 A、B 的反力
- 2 列剪力式 — 建立距離與剪力變化的函數 V(x)
- 3 剪力歸零 — 令 V(x) = 0 求出對應的距離 x
- 4 確認位置 — 根據題目要求回答距指定點之距離
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🔄 延伸學習：若載重形式更複雜，可利用積分關係式 V=∫w dx 及 M=∫V dx 求解。
