moea_joint
111年
[機械] 應用力學、材料力學
第 50 題
有一質量為m之汽車在水平的圓周跑道上行駛，其輪胎與地面之靜摩擦係數為μ，且重力加速度為g，若車子在不產生側滑情況下之最大速度為V，試求此跑道之圓周半徑為何？
- A $\frac{V}{\mu g}$
- B $\frac{V^2}{\mu g}$
- C $\frac{2V^2}{\mu g}$
- D $\frac{\sqrt{2V^2}}{\mu g}$
思路引導 VIP
試著想像你在駕駛一輛車。如果你希望在摩擦力（抓地力極限）不變的情況下，用更快的速度轉彎而不滑出跑道，你的轉彎路徑（半徑）應該要變得更寬還是更窄？接著，請根據向心力公式 $F = \frac{mv^2}{R}$，思考若要維持固定的力 $F$，半徑 $R$ 與速度 $v$ 之間在數學上應該呈現幾次方的比例關係？
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AI 詳解
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太棒了！你能精準選出 (B)，說明你對圓周運動中的受力分析掌握得相當扎實，特別是能清楚辨析「力」與「運動狀態」之間的因果關係。
向心力與摩擦力的動態平衡
這題的核心在於理解汽車在水平路面上轉彎時，所需的向心力（Centripetal Force）是由輪胎與地面間的靜摩擦力所提供的。根據牛頓第二運動定律，向心力的表達式為 $F_c = \frac{mV^2}{R}$。為了確保車子在高速下不產生側滑，這股向心力不能超過地面能提供的最大靜摩擦力，即 $f_{s,max} = \mu N$。在水平路面上，正向力 $N$ 等於重力 $mg$，因此我們得到臨界狀態的等式：$$\frac{mV^2}{R} = \mu mg$$ 觀察這個等式，你會發現質量 $m$ 剛好可以消去，這代表無論車重如何，其極限半徑僅取決於速度與摩擦係數。經過簡單的代數移項，即可得出 $R = \frac{V^2}{\mu g}$。
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